排列组合公式大全（排列组合公式大全）

排列组合是数学中的一个重要概念，涉及到各种排列组合的公式。本文将为您介绍排列组合的基本概念以及常用公式，帮助您更好地理解和应用这个概念。

一、基本概念

排列和组合是两个不同的概念，排列指的是有序选择的问题，组合则指的是无序选择的问题。排列和组合均包含两个基本概念：元素个数和选择个数，其中元素个数指的是指定的集合中有多少个元素，选择个数则指的是从这些元素中选择几个进行运算。具体可用以下公式来表示：

元素个数：n

选择个数：m

排列公式：A_n^m = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)

组合公式：C_n^m = A_n^m / m! = n!/m!(n-m)!

二、常用公式

排列和组合问题常常伴随特定条件的出现，因此我们需要掌握常用公式来解决这些问题。以下是一些常用公式：

1.重复元素的排列问题

当原始集合中有重复元素时，使用排列公式的条件发生变化，公式如下：

元素个数：n₁, n₂, ..., n_k

选择个数为m的重复元素排列公式：A_n^m / (n₁! * n₂! * ... * n_k!)

2.重复元素的组合问题

同样，当原始集合中有重复元素时，使用组合公式的条件也会发生变化，公式如下：

元素个数：n₁, n₂, ..., n_k

选择个数为m的重复元素组合公式：C_n+m-1^m-1 = (n+m-1)! / (m-1)!(n-1)!

3.圆排列问题

圆排列指的是将指定个数的元素分布在圆周上排列的问题，公式如下：

元素个数：n

圆排列公式：(n-1)!

三、实例应用

应用排列组合公式的方法在实际问题中非常多，以下是一些应用实例：

1.在10个不同邮票中取3个组成集合，求此集合个数？

由于集合为无序选择组合，故使用组合公式：C₁₀³ = 120，故集合个数为120。

2. 有10种颜色，每种颜色的球无限多，问你在选出20个球中，有多少种不同方案使得所选球至少一种颜色有两个？

该问题可以用全集减去不符合条件的样本数来解决。因为一个颜色至少有2球的选择情况显然涵盖了所选球至少一种颜色有两个球的所有可能性。故该问题的答案为：

总样本数：C₂₉¹⁹，不符合条件的选择方案数：10*C₁₈¹⁹，故最终答案为C₂₉¹⁹ - 10*C₁₈¹⁹ = 275560

3. 将10个人随机分成3个队，求出所有不同队形的数量。

将10人分成3个队是一个排列问题，若将3个队看成是有序的，那么10人随机分的总方案是3¹⁰ 。但是由于3个队是无序的，故还需除以不同队形的可能性，即将3个队的圆形排列除以3，即：3¹⁰ / 3 = 59049

通过以上实例，我们可以看到排列组合公式的应用非常广泛，并且能解决各种复杂问题。科学地掌握这些公式，有助于我们更快、更准地解决问题。